질량보존법칙과 연속방정식(continuity equation)의 이해.

연속방정식 설명에 앞서, 토대가 되는 질량보존법칙을 먼저 간단히 설명한다.

 

#질량보존법칙 (law of conservation of mass)

질량보존법칙은 프랑스의 화학자 라부에지에가 발견한 화학반응 전후의 반응물질과 생성물질의 총 질량은 같다는 법칙이다.

예를 들면, 아래 사진에서 볼 수 있듯이 

염화칼슘과 황산나트륨 용액이 반응하면 황산칼슘과 염화나트륨이 생성되는데 반응 전과 후의 총 질량은 같다.

(사진출처- https://sites.google.com/site/isaacchemicalreacionnew1/contact-us )

이렇게 질량은 새로 만들어지거나 파괴되지 않는다는 것이 질량보존법칙의 포인트이다.

(나무를 태워 재가 되면 무거웠던 나무가 훅 불면 날라가는 가벼운 재가되는 것 같지만 눈에 보이지 않는 날아가버린 수증기나 이산화탄소 같은 기체들의 질량까지 합하면 결국 질량은 같다. 이 경우 나무의 무게에서 재의 무게를 빼면 날아가버린 기체의 무게를 알 수 있겠다)

 

#연속방정식(Continuity equation)

연속방정식은 질량보존법칙을 유체에 적용해 만든 방정식이다.

유관 내의 유체흐름시, 유관 내 모든 단면에서의 질량유량은 같다, 즉 시간 변화에 상관없이 질량유량은 변하지 않는다는게 이 방정식이 말하는 골자이다.

유체가 통과하는 부분의 단면적이 작아지면 유속이 빨라져 결국에는 유량이 일정해지는 성질을 이용한다.

 

 

연속방정식은 매우 간단하다.

A₁v₁=A₂v₂

(여기서 A는 단면적, v는 속도)

                         (사진출처- http://jennarocca.com/fluids-continuity-equation/_

 

#연속방정식 유도

A₁v₁=A₂v₂가 어떻게 나오는지 이를 유도해보자.

먼저, 연속방정식의 골자인 '시간(t)이 변해도 유관 내 단면적을 통과하는 유체의 질량(m)은 변하지 않는다'를

방정식으로 표현하면 ,

 

여기서 밀도(ρ)=질량(m)/부피(V)이므로

m=ρV가 되고,

△m₁=ρ₁△V₁, △m₂=ρ₂△V₂ 이다.

또한 부피(V)=면적(A)x높이(h) 이므로

△V₁=A₁△h₁, △V₂=A₂△h₂ 이다. 이를 ②식에 대입하면

여기서 속도(v)=거리(h)/시간(t) 이므로

△h₁/△t = v₁  , △h₂/△t =v₂ 가 된다. 이를 ③식에 대입하면

ρ₁A₁v₁=ρ₂A₂v₂ -④ 가 되고 단위는 질량유량[kg/s] .

④식은 모든 유체에 적용되는 방정식인데, 밀도에 변화가 없는 비압축성 유체에 적용하면,

ρ₁=ρ₂가 되어 A₁v₁=A₂v₂ [m³/s] (체적유량)이 나온다.

 

예) 이상유체가 아래 관을 흐른다고 가정하에, A2를 통과하는 유속을 구해보기

 

위와 같은 조건일 때 단면 A₂에서의 유속 v₂는 얼마일까?

.

.

 

(풀이)

→A₁v₁=A₂v₂ 에서 v₂=A₁v₁/A₂ = (30cm²x2m/s)/5cm²=12m/s이다.

→A₁은 A₂의 단면적보다 6배 더 크다. 반대로 v₁은 A₂의 1/6배이다.

 

 

이후엔 이어서 베르누이 원리에 대해 포스팅하겠다.